3.6 \(\int \frac{\left (c+d x+e x^2+f x^3\right )^3}{\sqrt{a+b x}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=708 \[ -\frac{2 f (a+b x)^{15/2} \left (-12 a^2 f^2+8 a b e f+b^2 \left (-\left (d f+e^2\right )\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{13/2} \left (-84 a^3 f^3+84 a^2 b e f^2-21 a b^2 f \left (d f+e^2\right )+b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )\right )}{13 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{3/2} \left (3 a^2 f-2 a b e+b^2 d\right ) \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right )^2}{b^{10}}+\frac{2 \sqrt{a+b x} \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right )^3}{b^{10}}+\frac{6 (a+b x)^{5/2} \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right ) \left (12 a^4 f^2-16 a^3 b e f+a^2 b^2 \left (9 d f+5 e^2\right )-a b^3 (3 c f+5 d e)+b^4 \left (c e+d^2\right )\right )}{5 b^{10}}-\frac{6 (a+b x)^{11/2} \left (-42 a^4 f^3+56 a^3 b e f^2-21 a^2 b^2 f \left (d f+e^2\right )+2 a b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )\right )}{11 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{9/2} \left (-42 a^5 f^3+70 a^4 b e f^2-35 a^3 b^2 f \left (d f+e^2\right )+5 a^2 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-5 a b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )\right )}{3 b^{10}}-\frac{2 (a+b x)^{7/2} \left (-84 a^6 f^3+168 a^5 b e f^2-105 a^4 b^2 f \left (d f+e^2\right )+20 a^3 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-30 a^2 b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+12 a b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )-b^6 \left (3 c^2 f+6 c d e+d^3\right )\right )}{7 b^{10}}+\frac{6 f^2 (a+b x)^{17/2} (b e-3 a f)}{17 b^{10}}+\frac{2 f^3 (a+b x)^{19/2}}{19 b^{10}} \]

[Out]

(2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*Sqrt[a + b*x])/b^10 + (2*(b^2*d - 2*a*b
*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3/2))/b^10 + (6*(
b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3*b*e*f + 12*a^4*f^2
- a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^10) - (
2*(168*a^5*b*e*f^2 - 84*a^6*f^3 - b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) - 105*a^4*b^2*f*
(e^2 + d*f) + 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 30*a^2*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2
*c*e*f) + 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7/2))/(7*b^10) + (2*(
70*a^4*b*e*f^2 - 42*a^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*
c*d*f) - 5*a*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2)
)*(a + b*x)^(9/2))/(3*b^10) - (6*(56*a^3*b*e*f^2 - 42*a^4*f^3 - 21*a^2*b^2*f*(e^
2 + d*f) - b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a
+ b*x)^(11/2))/(11*b^10) + (2*(84*a^2*b*e*f^2 - 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 +
d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(13/2))/(13*b^10) - (2*f*(8*a*b*
e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15/2))/(5*b^10) + (6*f^2*(b*e - 3
*a*f)*(a + b*x)^(17/2))/(17*b^10) + (2*f^3*(a + b*x)^(19/2))/(19*b^10)

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.49768, antiderivative size = 708, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.037 \[ -\frac{2 f (a+b x)^{15/2} \left (-12 a^2 f^2+8 a b e f+b^2 \left (-\left (d f+e^2\right )\right )\right )}{5 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{13/2} \left (-84 a^3 f^3+84 a^2 b e f^2-21 a b^2 f \left (d f+e^2\right )+b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )\right )}{13 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{3/2} \left (3 a^2 f-2 a b e+b^2 d\right ) \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right )^2}{b^{10}}+\frac{2 \sqrt{a+b x} \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right )^3}{b^{10}}+\frac{6 (a+b x)^{5/2} \left (a^3 (-f)+a^2 b e-a b^2 d+b^3 c\right ) \left (12 a^4 f^2-16 a^3 b e f+a^2 b^2 \left (9 d f+5 e^2\right )-a b^3 (3 c f+5 d e)+b^4 \left (c e+d^2\right )\right )}{5 b^{10}}-\frac{6 (a+b x)^{11/2} \left (-42 a^4 f^3+56 a^3 b e f^2-21 a^2 b^2 f \left (d f+e^2\right )+2 a b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )\right )}{11 b^{10}}+\frac{2 (a+b x)^{9/2} \left (-42 a^5 f^3+70 a^4 b e f^2-35 a^3 b^2 f \left (d f+e^2\right )+5 a^2 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-5 a b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )\right )}{3 b^{10}}-\frac{2 (a+b x)^{7/2} \left (-84 a^6 f^3+168 a^5 b e f^2-105 a^4 b^2 f \left (d f+e^2\right )+20 a^3 b^3 \left (3 c f^2+6 d e f+e^3\right )-30 a^2 b^4 \left (2 c e f+d^2 f+d e^2\right )+12 a b^5 \left (2 c d f+c e^2+d^2 e\right )-b^6 \left (3 c^2 f+6 c d e+d^3\right )\right )}{7 b^{10}}+\frac{6 f^2 (a+b x)^{17/2} (b e-3 a f)}{17 b^{10}}+\frac{2 f^3 (a+b x)^{19/2}}{19 b^{10}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^3/Sqrt[a + b*x],x]

[Out]

(2*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^3*Sqrt[a + b*x])/b^10 + (2*(b^2*d - 2*a*b
*e + 3*a^2*f)*(b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)^2*(a + b*x)^(3/2))/b^10 + (6*(
b^3*c - a*b^2*d + a^2*b*e - a^3*f)*(b^4*(d^2 + c*e) - 16*a^3*b*e*f + 12*a^4*f^2
- a*b^3*(5*d*e + 3*c*f) + a^2*b^2*(5*e^2 + 9*d*f))*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^10) - (
2*(168*a^5*b*e*f^2 - 84*a^6*f^3 - b^6*(d^3 + 6*c*d*e + 3*c^2*f) - 105*a^4*b^2*f*
(e^2 + d*f) + 12*a*b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*c*d*f) - 30*a^2*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2
*c*e*f) + 20*a^3*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(7/2))/(7*b^10) + (2*(
70*a^4*b*e*f^2 - 42*a^5*f^3 - 35*a^3*b^2*f*(e^2 + d*f) + b^5*(d^2*e + c*e^2 + 2*
c*d*f) - 5*a*b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 5*a^2*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2)
)*(a + b*x)^(9/2))/(3*b^10) - (6*(56*a^3*b*e*f^2 - 42*a^4*f^3 - 21*a^2*b^2*f*(e^
2 + d*f) - b^4*(d*e^2 + d^2*f + 2*c*e*f) + 2*a*b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a
+ b*x)^(11/2))/(11*b^10) + (2*(84*a^2*b*e*f^2 - 84*a^3*f^3 - 21*a*b^2*f*(e^2 +
d*f) + b^3*(e^3 + 6*d*e*f + 3*c*f^2))*(a + b*x)^(13/2))/(13*b^10) - (2*f*(8*a*b*
e*f - 12*a^2*f^2 - b^2*(e^2 + d*f))*(a + b*x)^(15/2))/(5*b^10) + (6*f^2*(b*e - 3
*a*f)*(a + b*x)^(17/2))/(17*b^10) + (2*f^3*(a + b*x)^(19/2))/(19*b^10)

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((f*x**3+e*x**2+d*x+c)**3/(b*x+a)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 4.76785, size = 913, normalized size = 1.29 \[ \frac{2 \sqrt{a+b x} \left (-1376256 f^3 a^9+229376 b f^2 (19 e+3 f x) a^8-14336 b^2 f \left (323 e^2+152 f x e+f \left (36 f x^2+323 d\right )\right ) a^7+1024 b^3 \left (1615 e^3+2261 f x e^2+114 f \left (14 f x^2+85 d\right ) e+f^2 \left (420 f x^3+2261 d x+4845 c\right )\right ) a^6-256 b^4 \left (20995 f d^2+323 \left (65 e^2+60 f x e+21 f^2 x^2\right ) d+3230 c f (13 e+3 f x)+x \left (3230 e^3+6783 f x e^2+5320 f^2 x^2 e+1470 f^3 x^3\right )\right ) a^5+128 b^5 \left (4199 (11 e+5 f x) d^2+323 \left (286 c f+5 x \left (13 e^2+18 f x e+7 f^2 x^2\right )\right ) d+323 c \left (143 e^2+130 f x e+45 f^2 x^2\right )+x^2 \left (4845 e^3+11305 f x e^2+9310 f^2 x^2 e+2646 f^3 x^3\right )\right ) a^4-16 b^6 \left (138567 d^3+8398 x (22 e+15 f x) d^2+323 \left (5 \left (78 e^2+120 f x e+49 f^2 x^2\right ) x^2+286 c (9 e+4 f x)\right ) d+415701 c^2 f+1292 c x \left (143 e^2+195 f x e+75 f^2 x^2\right )+x^3 \left (32300 e^3+79135 f x e^2+67032 f^2 x^2 e+19404 f^3 x^3\right )\right ) a^3+8 b^7 \left (138567 (7 e+3 f x) c^2+323 \left (3003 d^2+858 x (3 e+2 f x) d+x^2 \left (858 e^2+1300 f x e+525 f^2 x^2\right )\right ) c+x \left (138567 d^3+8398 x (33 e+25 f x) d^2+323 x^2 \left (650 e^2+1050 f x e+441 f^2 x^2\right ) d+7 x^3 \left (8075 e^3+20349 f x e^2+17556 f^2 x^2 e+5148 f^3 x^3\right )\right )\right ) a^2-2 b^8 \left (138567 (35 d+x (14 e+9 f x)) c^2+646 x \left (3003 d^2+143 x (27 e+20 f x) d+5 x^2 \left (286 e^2+455 f x e+189 f^2 x^2\right )\right ) c+x^2 \left (415701 d^3+20995 x (44 e+35 f x) d^2+2261 x^2 \left (325 e^2+540 f x e+231 f^2 x^2\right ) d+21 x^3 \left (9690 e^3+24871 f x e^2+21736 f^2 x^2 e+6435 f^3 x^3\right )\right )\right ) a+b^9 \left (4849845 c^3+138567 x (35 d+3 x (7 e+5 f x)) c^2+323 x^2 \left (9009 d^2+1430 x (9 e+7 f x) d+35 x^2 \left (143 e^2+234 f x e+99 f^2 x^2\right )\right ) c+x^3 \left (692835 d^3+146965 x (11 e+9 f x) d^2+6783 x^2 \left (195 e^2+330 f x e+143 f^2 x^2\right ) d+231 x^3 \left (1615 e^3+4199 f x e^2+3705 f^2 x^2 e+1105 f^3 x^3\right )\right )\right )\right )}{4849845 b^{10}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(c + d*x + e*x^2 + f*x^3)^3/Sqrt[a + b*x],x]

[Out]

(2*Sqrt[a + b*x]*(-1376256*a^9*f^3 + 229376*a^8*b*f^2*(19*e + 3*f*x) - 14336*a^7
*b^2*f*(323*e^2 + 152*e*f*x + f*(323*d + 36*f*x^2)) + 1024*a^6*b^3*(1615*e^3 + 2
261*e^2*f*x + 114*e*f*(85*d + 14*f*x^2) + f^2*(4845*c + 2261*d*x + 420*f*x^3)) -
256*a^5*b^4*(20995*d^2*f + 3230*c*f*(13*e + 3*f*x) + 323*d*(65*e^2 + 60*e*f*x +
21*f^2*x^2) + x*(3230*e^3 + 6783*e^2*f*x + 5320*e*f^2*x^2 + 1470*f^3*x^3)) + 12
8*a^4*b^5*(4199*d^2*(11*e + 5*f*x) + 323*c*(143*e^2 + 130*e*f*x + 45*f^2*x^2) +
x^2*(4845*e^3 + 11305*e^2*f*x + 9310*e*f^2*x^2 + 2646*f^3*x^3) + 323*d*(286*c*f
+ 5*x*(13*e^2 + 18*e*f*x + 7*f^2*x^2))) - 16*a^3*b^6*(138567*d^3 + 415701*c^2*f
+ 8398*d^2*x*(22*e + 15*f*x) + 1292*c*x*(143*e^2 + 195*e*f*x + 75*f^2*x^2) + x^3
*(32300*e^3 + 79135*e^2*f*x + 67032*e*f^2*x^2 + 19404*f^3*x^3) + 323*d*(286*c*(9
*e + 4*f*x) + 5*x^2*(78*e^2 + 120*e*f*x + 49*f^2*x^2))) + b^9*(4849845*c^3 + 138
567*c^2*x*(35*d + 3*x*(7*e + 5*f*x)) + 323*c*x^2*(9009*d^2 + 1430*d*x*(9*e + 7*f
*x) + 35*x^2*(143*e^2 + 234*e*f*x + 99*f^2*x^2)) + x^3*(692835*d^3 + 146965*d^2*
x*(11*e + 9*f*x) + 6783*d*x^2*(195*e^2 + 330*e*f*x + 143*f^2*x^2) + 231*x^3*(161
5*e^3 + 4199*e^2*f*x + 3705*e*f^2*x^2 + 1105*f^3*x^3))) + 8*a^2*b^7*(138567*c^2*
(7*e + 3*f*x) + 323*c*(3003*d^2 + 858*d*x*(3*e + 2*f*x) + x^2*(858*e^2 + 1300*e*
f*x + 525*f^2*x^2)) + x*(138567*d^3 + 8398*d^2*x*(33*e + 25*f*x) + 323*d*x^2*(65
0*e^2 + 1050*e*f*x + 441*f^2*x^2) + 7*x^3*(8075*e^3 + 20349*e^2*f*x + 17556*e*f^
2*x^2 + 5148*f^3*x^3))) - 2*a*b^8*(138567*c^2*(35*d + x*(14*e + 9*f*x)) + 646*c*
x*(3003*d^2 + 143*d*x*(27*e + 20*f*x) + 5*x^2*(286*e^2 + 455*e*f*x + 189*f^2*x^2
)) + x^2*(415701*d^3 + 20995*d^2*x*(44*e + 35*f*x) + 2261*d*x^2*(325*e^2 + 540*e
*f*x + 231*f^2*x^2) + 21*x^3*(9690*e^3 + 24871*e^2*f*x + 21736*e*f^2*x^2 + 6435*
f^3*x^3)))))/(4849845*b^10)

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.015, size = 1417, normalized size = 2. \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((f*x^3+e*x^2+d*x+c)^3/(b*x+a)^(1/2),x)

[Out]

-2/4849845*(b*x+a)^(1/2)*(-255255*b^9*f^3*x^9+270270*a*b^8*f^3*x^8-855855*b^9*e*
f^2*x^8-288288*a^2*b^7*f^3*x^7+912912*a*b^8*e*f^2*x^7-969969*b^9*d*f^2*x^7-96996
9*b^9*e^2*f*x^7+310464*a^3*b^6*f^3*x^6-983136*a^2*b^7*e*f^2*x^6+1044582*a*b^8*d*
f^2*x^6+1044582*a*b^8*e^2*f*x^6-1119195*b^9*c*f^2*x^6-2238390*b^9*d*e*f*x^6-3730
65*b^9*e^3*x^6-338688*a^4*b^5*f^3*x^5+1072512*a^3*b^6*e*f^2*x^5-1139544*a^2*b^7*
d*f^2*x^5-1139544*a^2*b^7*e^2*f*x^5+1220940*a*b^8*c*f^2*x^5+2441880*a*b^8*d*e*f*
x^5+406980*a*b^8*e^3*x^5-2645370*b^9*c*e*f*x^5-1322685*b^9*d^2*f*x^5-1322685*b^9
*d*e^2*x^5+376320*a^5*b^4*f^3*x^4-1191680*a^4*b^5*e*f^2*x^4+1266160*a^3*b^6*d*f^
2*x^4+1266160*a^3*b^6*e^2*f*x^4-1356600*a^2*b^7*c*f^2*x^4-2713200*a^2*b^7*d*e*f*
x^4-452200*a^2*b^7*e^3*x^4+2939300*a*b^8*c*e*f*x^4+1469650*a*b^8*d^2*f*x^4+14696
50*a*b^8*d*e^2*x^4-3233230*b^9*c*d*f*x^4-1616615*b^9*c*e^2*x^4-1616615*b^9*d^2*e
*x^4-430080*a^6*b^3*f^3*x^3+1361920*a^5*b^4*e*f^2*x^3-1447040*a^4*b^5*d*f^2*x^3-
1447040*a^4*b^5*e^2*f*x^3+1550400*a^3*b^6*c*f^2*x^3+3100800*a^3*b^6*d*e*f*x^3+51
6800*a^3*b^6*e^3*x^3-3359200*a^2*b^7*c*e*f*x^3-1679600*a^2*b^7*d^2*f*x^3-1679600
*a^2*b^7*d*e^2*x^3+3695120*a*b^8*c*d*f*x^3+1847560*a*b^8*c*e^2*x^3+1847560*a*b^8
*d^2*e*x^3-2078505*b^9*c^2*f*x^3-4157010*b^9*c*d*e*x^3-692835*b^9*d^3*x^3+516096
*a^7*b^2*f^3*x^2-1634304*a^6*b^3*e*f^2*x^2+1736448*a^5*b^4*d*f^2*x^2+1736448*a^5
*b^4*e^2*f*x^2-1860480*a^4*b^5*c*f^2*x^2-3720960*a^4*b^5*d*e*f*x^2-620160*a^4*b^
5*e^3*x^2+4031040*a^3*b^6*c*e*f*x^2+2015520*a^3*b^6*d^2*f*x^2+2015520*a^3*b^6*d*
e^2*x^2-4434144*a^2*b^7*c*d*f*x^2-2217072*a^2*b^7*c*e^2*x^2-2217072*a^2*b^7*d^2*
e*x^2+2494206*a*b^8*c^2*f*x^2+4988412*a*b^8*c*d*e*x^2+831402*a*b^8*d^3*x^2-29099
07*b^9*c^2*e*x^2-2909907*b^9*c*d^2*x^2-688128*a^8*b*f^3*x+2179072*a^7*b^2*e*f^2*
x-2315264*a^6*b^3*d*f^2*x-2315264*a^6*b^3*e^2*f*x+2480640*a^5*b^4*c*f^2*x+496128
0*a^5*b^4*d*e*f*x+826880*a^5*b^4*e^3*x-5374720*a^4*b^5*c*e*f*x-2687360*a^4*b^5*d
^2*f*x-2687360*a^4*b^5*d*e^2*x+5912192*a^3*b^6*c*d*f*x+2956096*a^3*b^6*c*e^2*x+2
956096*a^3*b^6*d^2*e*x-3325608*a^2*b^7*c^2*f*x-6651216*a^2*b^7*c*d*e*x-1108536*a
^2*b^7*d^3*x+3879876*a*b^8*c^2*e*x+3879876*a*b^8*c*d^2*x-4849845*b^9*c^2*d*x+137
6256*a^9*f^3-4358144*a^8*b*e*f^2+4630528*a^7*b^2*d*f^2+4630528*a^7*b^2*e^2*f-496
1280*a^6*b^3*c*f^2-9922560*a^6*b^3*d*e*f-1653760*a^6*b^3*e^3+10749440*a^5*b^4*c*
e*f+5374720*a^5*b^4*d^2*f+5374720*a^5*b^4*d*e^2-11824384*a^4*b^5*c*d*f-5912192*a
^4*b^5*c*e^2-5912192*a^4*b^5*d^2*e+6651216*a^3*b^6*c^2*f+13302432*a^3*b^6*c*d*e+
2217072*a^3*b^6*d^3-7759752*a^2*b^7*c^2*e-7759752*a^2*b^7*c*d^2+9699690*a*b^8*c^
2*d-4849845*b^9*c^3)/b^10

_______________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.43626, size = 1836, normalized size = 2.59 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^3 + e*x^2 + d*x + c)^3/sqrt(b*x + a),x, algorithm="maxima")

[Out]

2/4849845*(4849845*sqrt(b*x + a)*c^3 + 138567*c^2*(35*((b*x + a)^(3/2) - 3*sqrt(
b*x + a)*a)*d/b + 7*(3*(b*x + a)^(5/2) - 10*(b*x + a)^(3/2)*a + 15*sqrt(b*x + a)
*a^2)*e/b^2 + 3*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a + 35*(b*x + a)^(3/2)*a
^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*f/b^3) + 323*c*(3003*(3*(b*x + a)^(5/2) - 10*(b*x + a
)^(3/2)*a + 15*sqrt(b*x + a)*a^2)*d^2/b^2 + 143*(35*(b*x + a)^(9/2) - 180*(b*x +
a)^(7/2)*a + 378*(b*x + a)^(5/2)*a^2 - 420*(b*x + a)^(3/2)*a^3 + 315*sqrt(b*x +
a)*a^4)*e^2/b^4 + 286*(35*(b*x + a)^(9/2)*f + 45*(b*e - 4*a*f)*(b*x + a)^(7/2)
- 189*(a*b*e - 2*a^2*f)*(b*x + a)^(5/2) + 105*(3*a^2*b*e - 4*a^3*f)*(b*x + a)^(3
/2) - 315*(a^3*b*e - a^4*f)*sqrt(b*x + a))*d/b^4 + 130*(63*(b*x + a)^(11/2) - 38
5*(b*x + a)^(9/2)*a + 990*(b*x + a)^(7/2)*a^2 - 1386*(b*x + a)^(5/2)*a^3 + 1155*
(b*x + a)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(b*x + a)*a^5)*e*f/b^5 + 15*(231*(b*x + a)^(13/2)
- 1638*(b*x + a)^(11/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3
+ 9009*(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*
f^2/b^6) + 138567*(5*(b*x + a)^(7/2) - 21*(b*x + a)^(5/2)*a + 35*(b*x + a)^(3/2)
*a^2 - 35*sqrt(b*x + a)*a^3)*d^3/b^3 + 4199*(315*(b*x + a)^(11/2)*f + 385*(b*e -
5*a*f)*(b*x + a)^(9/2) - 990*(2*a*b*e - 5*a^2*f)*(b*x + a)^(7/2) + 1386*(3*a^2*
b*e - 5*a^3*f)*(b*x + a)^(5/2) - 1155*(4*a^3*b*e - 5*a^4*f)*(b*x + a)^(3/2) + 34
65*(a^4*b*e - a^5*f)*sqrt(b*x + a))*d^2/b^5 + 1615*(231*(b*x + a)^(13/2) - 1638*
(b*x + a)^(11/2)*a + 5005*(b*x + a)^(9/2)*a^2 - 8580*(b*x + a)^(7/2)*a^3 + 9009*
(b*x + a)^(5/2)*a^4 - 6006*(b*x + a)^(3/2)*a^5 + 3003*sqrt(b*x + a)*a^6)*e^3/b^6
+ 2261*(429*(b*x + a)^(15/2) - 3465*(b*x + a)^(13/2)*a + 12285*(b*x + a)^(11/2)
*a^2 - 25025*(b*x + a)^(9/2)*a^3 + 32175*(b*x + a)^(7/2)*a^4 - 27027*(b*x + a)^(
5/2)*a^5 + 15015*(b*x + a)^(3/2)*a^6 - 6435*sqrt(b*x + a)*a^7)*e^2*f/b^7 + 133*(
6435*(b*x + a)^(17/2) - 58344*(b*x + a)^(15/2)*a + 235620*(b*x + a)^(13/2)*a^2 -
556920*(b*x + a)^(11/2)*a^3 + 850850*(b*x + a)^(9/2)*a^4 - 875160*(b*x + a)^(7/
2)*a^5 + 612612*(b*x + a)^(5/2)*a^6 - 291720*(b*x + a)^(3/2)*a^7 + 109395*sqrt(b
*x + a)*a^8)*e*f^2/b^8 + 323*(3003*(b*x + a)^(15/2)*f^2 + 3465*(2*b*e*f - 7*a*f^
2)*(b*x + a)^(13/2) + 4095*(b^2*e^2 - 12*a*b*e*f + 21*a^2*f^2)*(b*x + a)^(11/2)
- 25025*(a*b^2*e^2 - 6*a^2*b*e*f + 7*a^3*f^2)*(b*x + a)^(9/2) + 32175*(2*a^2*b^2
*e^2 - 8*a^3*b*e*f + 7*a^4*f^2)*(b*x + a)^(7/2) - 9009*(10*a^3*b^2*e^2 - 30*a^4*
b*e*f + 21*a^5*f^2)*(b*x + a)^(5/2) + 15015*(5*a^4*b^2*e^2 - 12*a^5*b*e*f + 7*a^
6*f^2)*(b*x + a)^(3/2) - 45045*(a^5*b^2*e^2 - 2*a^6*b*e*f + a^7*f^2)*sqrt(b*x +
a))*d/b^7 + 21*(12155*(b*x + a)^(19/2) - 122265*(b*x + a)^(17/2)*a + 554268*(b*x
+ a)^(15/2)*a^2 - 1492260*(b*x + a)^(13/2)*a^3 + 2645370*(b*x + a)^(11/2)*a^4 -
3233230*(b*x + a)^(9/2)*a^5 + 2771340*(b*x + a)^(7/2)*a^6 - 1662804*(b*x + a)^(
5/2)*a^7 + 692835*(b*x + a)^(3/2)*a^8 - 230945*sqrt(b*x + a)*a^9)*f^3/b^9)/b

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.227951, size = 1648, normalized size = 2.33 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^3 + e*x^2 + d*x + c)^3/sqrt(b*x + a),x, algorithm="fricas")

[Out]

2/4849845*(255255*b^9*f^3*x^9 + 4849845*b^9*c^3 - 9699690*a*b^8*c^2*d + 7759752*
a^2*b^7*c*d^2 - 2217072*a^3*b^6*d^3 + 1653760*a^6*b^3*e^3 - 1376256*a^9*f^3 + 45
045*(19*b^9*e*f^2 - 6*a*b^8*f^3)*x^8 + 3003*(323*b^9*e^2*f + 96*a^2*b^7*f^3 + 19
*(17*b^9*d - 16*a*b^8*e)*f^2)*x^7 + 231*(1615*b^9*e^3 - 1344*a^3*b^6*f^3 + 19*(2
55*b^9*c - 238*a*b^8*d + 224*a^2*b^7*e)*f^2 + 646*(15*b^9*d*e - 7*a*b^8*e^2)*f)*
x^6 + 63*(20995*b^9*d*e^2 - 6460*a*b^8*e^3 + 5376*a^4*b^5*f^3 - 76*(255*a*b^8*c
- 238*a^2*b^7*d + 224*a^3*b^6*e)*f^2 + 323*(65*b^9*d^2 + 56*a^2*b^7*e^2 + 10*(13
*b^9*c - 12*a*b^8*d)*e)*f)*x^5 + 35*(46189*b^9*d^2*e + 12920*a^2*b^7*e^3 - 10752
*a^5*b^4*f^3 + 4199*(11*b^9*c - 10*a*b^8*d)*e^2 + 152*(255*a^2*b^7*c - 238*a^3*b
^6*d + 224*a^4*b^5*e)*f^2 + 646*(143*b^9*c*d - 65*a*b^8*d^2 - 56*a^3*b^6*e^2 - 1
0*(13*a*b^8*c - 12*a^2*b^7*d)*e)*f)*x^4 + 5*(138567*b^9*d^3 - 103360*a^3*b^6*e^3
+ 86016*a^6*b^3*f^3 - 33592*(11*a*b^8*c - 10*a^2*b^7*d)*e^2 - 1216*(255*a^3*b^6
*c - 238*a^4*b^5*d + 224*a^5*b^4*e)*f^2 + 92378*(9*b^9*c*d - 4*a*b^8*d^2)*e + 32
3*(1287*b^9*c^2 - 2288*a*b^8*c*d + 1040*a^2*b^7*d^2 + 896*a^4*b^5*e^2 + 160*(13*
a^2*b^7*c - 12*a^3*b^6*d)*e)*f)*x^3 + 537472*(11*a^4*b^5*c - 10*a^5*b^4*d)*e^2 +
19456*(255*a^6*b^3*c - 238*a^7*b^2*d + 224*a^8*b*e)*f^2 + 3*(969969*b^9*c*d^2 -
277134*a*b^8*d^3 + 206720*a^4*b^5*e^3 - 172032*a^7*b^2*f^3 + 67184*(11*a^2*b^7*
c - 10*a^3*b^6*d)*e^2 + 2432*(255*a^4*b^5*c - 238*a^5*b^4*d + 224*a^6*b^3*e)*f^2
+ 46189*(21*b^9*c^2 - 36*a*b^8*c*d + 16*a^2*b^7*d^2)*e - 646*(1287*a*b^8*c^2 -
2288*a^2*b^7*c*d + 1040*a^3*b^6*d^2 + 896*a^5*b^4*e^2 + 160*(13*a^3*b^6*c - 12*a
^4*b^5*d)*e)*f)*x^2 + 369512*(21*a^2*b^7*c^2 - 36*a^3*b^6*c*d + 16*a^4*b^5*d^2)*
e - 5168*(1287*a^3*b^6*c^2 - 2288*a^4*b^5*c*d + 1040*a^5*b^4*d^2 + 896*a^7*b^2*e
^2 + 160*(13*a^5*b^4*c - 12*a^6*b^3*d)*e)*f + (4849845*b^9*c^2*d - 3879876*a*b^8
*c*d^2 + 1108536*a^2*b^7*d^3 - 826880*a^5*b^4*e^3 + 688128*a^8*b*f^3 - 268736*(1
1*a^3*b^6*c - 10*a^4*b^5*d)*e^2 - 9728*(255*a^5*b^4*c - 238*a^6*b^3*d + 224*a^7*
b^2*e)*f^2 - 184756*(21*a*b^8*c^2 - 36*a^2*b^7*c*d + 16*a^3*b^6*d^2)*e + 2584*(1
287*a^2*b^7*c^2 - 2288*a^3*b^6*c*d + 1040*a^4*b^5*d^2 + 896*a^6*b^3*e^2 + 160*(1
3*a^4*b^5*c - 12*a^5*b^4*d)*e)*f)*x)*sqrt(b*x + a)/b^10

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 174.121, size = 3691, normalized size = 5.21 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x**3+e*x**2+d*x+c)**3/(b*x+a)**(1/2),x)

[Out]

Piecewise((-(2*a*c**3/sqrt(a + b*x) + 6*a*c**2*d*(-a/sqrt(a + b*x) - sqrt(a + b*
x))/b + 6*a*c**2*e*(a**2/sqrt(a + b*x) + 2*a*sqrt(a + b*x) - (a + b*x)**(3/2)/3)
/b**2 + 6*a*c*d**2*(a**2/sqrt(a + b*x) + 2*a*sqrt(a + b*x) - (a + b*x)**(3/2)/3)
/b**2 + 6*a*c**2*f*(-a**3/sqrt(a + b*x) - 3*a**2*sqrt(a + b*x) + a*(a + b*x)**(3
/2) - (a + b*x)**(5/2)/5)/b**3 + 12*a*c*d*e*(-a**3/sqrt(a + b*x) - 3*a**2*sqrt(a
+ b*x) + a*(a + b*x)**(3/2) - (a + b*x)**(5/2)/5)/b**3 + 2*a*d**3*(-a**3/sqrt(a
+ b*x) - 3*a**2*sqrt(a + b*x) + a*(a + b*x)**(3/2) - (a + b*x)**(5/2)/5)/b**3 +
12*a*c*d*f*(a**4/sqrt(a + b*x) + 4*a**3*sqrt(a + b*x) - 2*a**2*(a + b*x)**(3/2)
+ 4*a*(a + b*x)**(5/2)/5 - (a + b*x)**(7/2)/7)/b**4 + 6*a*c*e**2*(a**4/sqrt(a +
b*x) + 4*a**3*sqrt(a + b*x) - 2*a**2*(a + b*x)**(3/2) + 4*a*(a + b*x)**(5/2)/5
- (a + b*x)**(7/2)/7)/b**4 + 6*a*d**2*e*(a**4/sqrt(a + b*x) + 4*a**3*sqrt(a + b*
x) - 2*a**2*(a + b*x)**(3/2) + 4*a*(a + b*x)**(5/2)/5 - (a + b*x)**(7/2)/7)/b**4
+ 12*a*c*e*f*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*a**4*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a + b*x)**(
3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*(a + b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(9/2)/9)/
b**5 + 6*a*d**2*f*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*a**4*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a + b*x
)**(3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*(a + b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(9/2)
/9)/b**5 + 6*a*d*e**2*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*a**4*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a +
b*x)**(3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*(a + b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(
9/2)/9)/b**5 + 6*a*c*f**2*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6*a**5*sqrt(a + b*x) - 5*a**4*(a
+ b*x)**(3/2) + 4*a**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**2*(a + b*x)**(7/2)/7 + 2*a*(a +
b*x)**(9/2)/3 - (a + b*x)**(11/2)/11)/b**6 + 12*a*d*e*f*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6
*a**5*sqrt(a + b*x) - 5*a**4*(a + b*x)**(3/2) + 4*a**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**
2*(a + b*x)**(7/2)/7 + 2*a*(a + b*x)**(9/2)/3 - (a + b*x)**(11/2)/11)/b**6 + 2*a
*e**3*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6*a**5*sqrt(a + b*x) - 5*a**4*(a + b*x)**(3/2) + 4*a
**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**2*(a + b*x)**(7/2)/7 + 2*a*(a + b*x)**(9/2)/3 - (a
+ b*x)**(11/2)/11)/b**6 + 6*a*d*f**2*(-a**7/sqrt(a + b*x) - 7*a**6*sqrt(a + b*x)
+ 7*a**5*(a + b*x)**(3/2) - 7*a**4*(a + b*x)**(5/2) + 5*a**3*(a + b*x)**(7/2) -
7*a**2*(a + b*x)**(9/2)/3 + 7*a*(a + b*x)**(11/2)/11 - (a + b*x)**(13/2)/13)/b*
*7 + 6*a*e**2*f*(-a**7/sqrt(a + b*x) - 7*a**6*sqrt(a + b*x) + 7*a**5*(a + b*x)**
(3/2) - 7*a**4*(a + b*x)**(5/2) + 5*a**3*(a + b*x)**(7/2) - 7*a**2*(a + b*x)**(9
/2)/3 + 7*a*(a + b*x)**(11/2)/11 - (a + b*x)**(13/2)/13)/b**7 + 6*a*e*f**2*(a**8
/sqrt(a + b*x) + 8*a**7*sqrt(a + b*x) - 28*a**6*(a + b*x)**(3/2)/3 + 56*a**5*(a
+ b*x)**(5/2)/5 - 10*a**4*(a + b*x)**(7/2) + 56*a**3*(a + b*x)**(9/2)/9 - 28*a**
2*(a + b*x)**(11/2)/11 + 8*a*(a + b*x)**(13/2)/13 - (a + b*x)**(15/2)/15)/b**8 +
2*a*f**3*(-a**9/sqrt(a + b*x) - 9*a**8*sqrt(a + b*x) + 12*a**7*(a + b*x)**(3/2)
- 84*a**6*(a + b*x)**(5/2)/5 + 18*a**5*(a + b*x)**(7/2) - 14*a**4*(a + b*x)**(9
/2) + 84*a**3*(a + b*x)**(11/2)/11 - 36*a**2*(a + b*x)**(13/2)/13 + 3*a*(a + b*x
)**(15/2)/5 - (a + b*x)**(17/2)/17)/b**9 + 2*c**3*(-a/sqrt(a + b*x) - sqrt(a + b
*x)) + 6*c**2*d*(a**2/sqrt(a + b*x) + 2*a*sqrt(a + b*x) - (a + b*x)**(3/2)/3)/b
+ 6*c**2*e*(-a**3/sqrt(a + b*x) - 3*a**2*sqrt(a + b*x) + a*(a + b*x)**(3/2) - (a
+ b*x)**(5/2)/5)/b**2 + 6*c*d**2*(-a**3/sqrt(a + b*x) - 3*a**2*sqrt(a + b*x) +
a*(a + b*x)**(3/2) - (a + b*x)**(5/2)/5)/b**2 + 6*c**2*f*(a**4/sqrt(a + b*x) + 4
*a**3*sqrt(a + b*x) - 2*a**2*(a + b*x)**(3/2) + 4*a*(a + b*x)**(5/2)/5 - (a + b*
x)**(7/2)/7)/b**3 + 12*c*d*e*(a**4/sqrt(a + b*x) + 4*a**3*sqrt(a + b*x) - 2*a**2
*(a + b*x)**(3/2) + 4*a*(a + b*x)**(5/2)/5 - (a + b*x)**(7/2)/7)/b**3 + 2*d**3*(
a**4/sqrt(a + b*x) + 4*a**3*sqrt(a + b*x) - 2*a**2*(a + b*x)**(3/2) + 4*a*(a + b
*x)**(5/2)/5 - (a + b*x)**(7/2)/7)/b**3 + 12*c*d*f*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*a**4
*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a + b*x)**(3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*(a +
b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(9/2)/9)/b**4 + 6*c*e**2*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*a*
*4*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a + b*x)**(3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*(a
+ b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(9/2)/9)/b**4 + 6*d**2*e*(-a**5/sqrt(a + b*x) - 5*
a**4*sqrt(a + b*x) + 10*a**3*(a + b*x)**(3/2)/3 - 2*a**2*(a + b*x)**(5/2) + 5*a*
(a + b*x)**(7/2)/7 - (a + b*x)**(9/2)/9)/b**4 + 12*c*e*f*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6
*a**5*sqrt(a + b*x) - 5*a**4*(a + b*x)**(3/2) + 4*a**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**
2*(a + b*x)**(7/2)/7 + 2*a*(a + b*x)**(9/2)/3 - (a + b*x)**(11/2)/11)/b**5 + 6*d
**2*f*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6*a**5*sqrt(a + b*x) - 5*a**4*(a + b*x)**(3/2) + 4*a
**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**2*(a + b*x)**(7/2)/7 + 2*a*(a + b*x)**(9/2)/3 - (a
+ b*x)**(11/2)/11)/b**5 + 6*d*e**2*(a**6/sqrt(a + b*x) + 6*a**5*sqrt(a + b*x) -
5*a**4*(a + b*x)**(3/2) + 4*a**3*(a + b*x)**(5/2) - 15*a**2*(a + b*x)**(7/2)/7 +
2*a*(a + b*x)**(9/2)/3 - (a + b*x)**(11/2)/11)/b**5 + 6*c*f**2*(-a**7/sqrt(a +
b*x) - 7*a**6*sqrt(a + b*x) + 7*a**5*(a + b*x)**(3/2) - 7*a**4*(a + b*x)**(5/2)
+ 5*a**3*(a + b*x)**(7/2) - 7*a**2*(a + b*x)**(9/2)/3 + 7*a*(a + b*x)**(11/2)/11
- (a + b*x)**(13/2)/13)/b**6 + 12*d*e*f*(-a**7/sqrt(a + b*x) - 7*a**6*sqrt(a +
b*x) + 7*a**5*(a + b*x)**(3/2) - 7*a**4*(a + b*x)**(5/2) + 5*a**3*(a + b*x)**(7/
2) - 7*a**2*(a + b*x)**(9/2)/3 + 7*a*(a + b*x)**(11/2)/11 - (a + b*x)**(13/2)/13
)/b**6 + 2*e**3*(-a**7/sqrt(a + b*x) - 7*a**6*sqrt(a + b*x) + 7*a**5*(a + b*x)**
(3/2) - 7*a**4*(a + b*x)**(5/2) + 5*a**3*(a + b*x)**(7/2) - 7*a**2*(a + b*x)**(9
/2)/3 + 7*a*(a + b*x)**(11/2)/11 - (a + b*x)**(13/2)/13)/b**6 + 6*d*f**2*(a**8/s
qrt(a + b*x) + 8*a**7*sqrt(a + b*x) - 28*a**6*(a + b*x)**(3/2)/3 + 56*a**5*(a +
b*x)**(5/2)/5 - 10*a**4*(a + b*x)**(7/2) + 56*a**3*(a + b*x)**(9/2)/9 - 28*a**2*
(a + b*x)**(11/2)/11 + 8*a*(a + b*x)**(13/2)/13 - (a + b*x)**(15/2)/15)/b**7 + 6
*e**2*f*(a**8/sqrt(a + b*x) + 8*a**7*sqrt(a + b*x) - 28*a**6*(a + b*x)**(3/2)/3
+ 56*a**5*(a + b*x)**(5/2)/5 - 10*a**4*(a + b*x)**(7/2) + 56*a**3*(a + b*x)**(9/
2)/9 - 28*a**2*(a + b*x)**(11/2)/11 + 8*a*(a + b*x)**(13/2)/13 - (a + b*x)**(15/
2)/15)/b**7 + 6*e*f**2*(-a**9/sqrt(a + b*x) - 9*a**8*sqrt(a + b*x) + 12*a**7*(a
+ b*x)**(3/2) - 84*a**6*(a + b*x)**(5/2)/5 + 18*a**5*(a + b*x)**(7/2) - 14*a**4*
(a + b*x)**(9/2) + 84*a**3*(a + b*x)**(11/2)/11 - 36*a**2*(a + b*x)**(13/2)/13 +
3*a*(a + b*x)**(15/2)/5 - (a + b*x)**(17/2)/17)/b**8 + 2*f**3*(a**10/sqrt(a + b
*x) + 10*a**9*sqrt(a + b*x) - 15*a**8*(a + b*x)**(3/2) + 24*a**7*(a + b*x)**(5/2
) - 30*a**6*(a + b*x)**(7/2) + 28*a**5*(a + b*x)**(9/2) - 210*a**4*(a + b*x)**(1
1/2)/11 + 120*a**3*(a + b*x)**(13/2)/13 - 3*a**2*(a + b*x)**(15/2) + 10*a*(a + b
*x)**(17/2)/17 - (a + b*x)**(19/2)/19)/b**9)/b, Ne(b, 0)), ((c**3*x + 3*c**2*d*x
**2/2 + e*f**2*x**9/3 + f**3*x**10/10 + x**8*(3*d*f**2 + 3*e**2*f)/8 + x**7*(3*c
*f**2 + 6*d*e*f + e**3)/7 + x**6*(6*c*e*f + 3*d**2*f + 3*d*e**2)/6 + x**5*(6*c*d
*f + 3*c*e**2 + 3*d**2*e)/5 + x**4*(3*c**2*f + 6*c*d*e + d**3)/4 + x**3*(3*c**2*
e + 3*c*d**2)/3)/sqrt(a), True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.231854, size = 1, normalized size = 0. \[ \mathit{Done} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^3 + e*x^2 + d*x + c)^3/sqrt(b*x + a),x, algorithm="giac")

[Out]

Done